Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Pola Soal
Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari ialah logika matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu logika dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu ini sangat penting alasannya ialah menjadi konsep dasar untuk memilih benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam bahan mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut ialah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang sanggup dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat sanggup dinyatakan sebagai pernyataan bila sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) merupakan pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) ialah adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Contoh logika matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Agar lebih memahaminya, berikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif alasannya ialah tidak semua orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, alasannya ialah sebagian orang menyampaikan akrab alasannya ialah sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana ialah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, berikut pola untuk kalimat negasi.
Contoh Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Dalam logika matematika, aturan konjungsi ialah benar hanya bila kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah bila salah satu pernyataan atau keduanya ialah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan klarifikasi dibawah ini.
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi ialah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya ialah benar. Namun bila keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Berikut penjelasannya.
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Konsep implikasi ialah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.
Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah bila pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi merupakan pernyataan yang hanya akan menyatakan benar bila kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar bila keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam logika matematika, untuk menyatakan biimplikasi ialah memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. bila dan hanya bila q..”.
Agar lebih jelas, berikut pembahasan singkatnya.
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Setelah mengetahui bahan dasar mengenai logika matematika, selanjutnya ialah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya ialah dua pernyataan beragam yang berbeda namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika ialah “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi merupakan pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih gampang dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya ialah q⇒p
Inversnya ialah p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya ialah q⇒ p
Kuantor pernyataan merupakan sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum ialah pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang dipakai ialah x.
Contoh:
Pernyataan “semua bunga ialah indah”. Maka notasinya ialah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus ialah pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai ialah Ǝx.
Contoh:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya ialah (Ǝx),Jx
Sama menyerupai pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini ialah bahwa negasi dari kuantor universal ialah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai pola adalah:
p : semua bunga ialah indah
p : semua bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan merupakan bahan terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya bila diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya ialah q.
Contoh:
Premis 1: Jika animo semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
Contoh:
Premis 1: Jika animo cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang animo dingin.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
Contoh:
Premis 1: Jika animo panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika animo panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diperlukan sanggup membantu dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan acara akademik lainnya.
Ada setidaknya 11 macam bahan mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut ialah pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pernyataan
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang sanggup dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat sanggup dinyatakan sebagai pernyataan bila sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) merupakan pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
Contoh logika matematika:
Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) ialah adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Contoh logika matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif, Pernyataan ini merupakan pernyataan yang sanggup benar namun juga salah.
Agar lebih memahaminya, berikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif alasannya ialah tidak semua orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, alasannya ialah sebagian orang menyampaikan akrab alasannya ialah sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi atau ingkaran
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana ialah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, berikut pola untuk kalimat negasi.
Contoh Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Pernyataan Majemuk
Pernyataan beragam dalam logika matematika terdiri atas konjungsi , disjungsi , implikasi , dan biimplikasi dibawah ini kami beri penjelasannya masing-masing:Konjungsi
Dalam logika matematika, aturan konjungsi ialah benar hanya bila kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah bila salah satu pernyataan atau keduanya ialah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Tabel Kebenaran Konjungsi
p | q | P ^ q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p dan q ialah benar |
B | S | S | Jika p benar dan q salah maka p dan q ialah salah |
S | B | S | Jika p salah dan q benar maka p dan q ialah salah |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p dan q ialah salah |
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Disjungsi
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi ialah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya ialah benar. Namun bila keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Tabel Kebenaran Disjungsi
p | q | P v q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p atau q ialah benar |
B | S | B | Jika p benar dan q salah maka p atau q ialah benar |
S | B | B | Jika p salah dan q benar maka p atau q ialah benar |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p atau q ialah salah |
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Implikasi
Konsep implikasi ialah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.
Tabel Kebenaran Implikasi
p | q | p => q | Logika matematika |
B | B | B | Jika awalnya BENAR kemudian hasilnya BENAR maka dianggap BENAR |
B | S | S | Jika awalnya BENAR kemudian hasilnya SALAH maka dianggap SALAH |
S | B | B | Jika awalnya SALAH kemudian hasilnya BENAR maka dianggap BENAR |
S | S | B | Jika awalnya SALAH kemudian hasilnya SALAH maka dianggap BENAR |
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah bila pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi
Biimplikasi merupakan pernyataan yang hanya akan menyatakan benar bila kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar bila keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam logika matematika, untuk menyatakan biimplikasi ialah memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. bila dan hanya bila q..”.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p | q | p ó q | Logika matematika |
B | B | B | P ialah BENAR bila dan hanya bila q ialah BENAR (dianggap benar) |
B | S | S | P ialah BENAR bila dan hanya bila q ialah SALAH (dianggap salah) |
S | B | S | P ialah SALAH bila dan hanya bila q ialah BENAR (dianggap salah) |
S | S | B | P ialah SALAH bila dan hanya bila q ialah SALAH (dianggap benar) |
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Setelah mengetahui bahan dasar mengenai logika matematika, selanjutnya ialah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya ialah dua pernyataan beragam yang berbeda namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika ialah “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Konvers, invers, dan kontraposisi
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi merupakan pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih gampang dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya ialah q⇒p
Inversnya ialah p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya ialah q⇒ p
Kuantor pernyataan
Kuantor pernyataan merupakan sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum ialah pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang dipakai ialah x.
Contoh:
Pernyataan “semua bunga ialah indah”. Maka notasinya ialah (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus ialah pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai ialah Ǝx.
Contoh:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya ialah (Ǝx),Jx
Ingkaran dari pernyataan kuantor
Sama menyerupai pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini ialah bahwa negasi dari kuantor universal ialah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai pola adalah:
p : semua bunga ialah indah
p : semua bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan
Penarikan kesimpulan merupakan bahan terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya bila diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya ialah q.
Contoh:
Premis 1: Jika animo semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Modus Tollens
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
Contoh:
Premis 1: Jika animo cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang animo dingin.
Silogisme
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
Contoh:
Premis 1: Jika animo panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika animo panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diperlukan sanggup membantu dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu logika matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan acara akademik lainnya.
Posting Komentar untuk "Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Pola Soal"